本文转载自 “豆妈笔记 （ID：）” 2021-3-25
周日在线上和大家交流了《走进奇妙的数学世界》这套经典数学绘本的读书心得，其中举例的时候有讲到豆豆上个学期遇到的一道应用题。那道应用题给我的启发很大，前两个月就想专门写一篇推文的，但拖拖拉拉一直都只停留在想法阶段。周日正好聊到，就在讲座里分享给了大家。
这会儿想想，觉得用讲的还是不够。我把这些启发和思考再整理一下，用文字表达出来。
这道让我深受启发的应用题是这样：
小明给同学分杯子，每个同学分6个就多出20个杯子，每个同学分8个就多出2个杯子，那么小明一共有多少个杯子？
这是豆豆在学习有余数除法时候遇到的一道应用题。如果小朋友已经学完这部分内容，大家也可以让娃试试看解这道题。
1
从带余数除法的角度入手会遇到一些困难
但并非不可行
豆豆一开始做这道题目的时候花了些时间，最后并没有做出来。我看了小朋友写的草稿，大概知道了原因：
（豆豆写的字迹有些淡了，我照着抄写了一份）
我能明白豆豆的意思。他按照小明两种分杯子的方法各写了一个算式：第一个式子里，☆表示杯子的总数，△表示同学的数量，“每个同学分6个就多出20个杯子”，写成算式就是“☆÷△=6……20”；第二个式子里，杯子的总数还是用五角星表示，但同学的数量豆豆用了一个新的符号□，“每个同学分8个就多出2个杯子”，小朋友根据这句话又写下了“☆÷□=8……2”。
再之后，豆豆是从余数要比除数小这个角度考虑，所以一直没有解出来。
这道题目很巧妙。从带余数除法的角度入手会遇到一些困难，但并非不可行。小朋友既然已经想到这里，我决定带着豆豆顺着这个思路继续探索下去，正好也可以帮助小朋友分析一下卡壳的地方在哪里。
其实豆豆遇到的困难有两个：一是没有发现两次分杯子的时候，同学的数量是一样的（小朋友用了两个不一样的符号来表示同学数量），或者也有可能他并不那么清楚，同一个量可以用同一个符号表示；二是把应用题等同于了计算题，被“余数要比除数小”困住了。
困难一个一个解决。
我让豆豆先讲一讲，他写的两个式子里，每个符号和数字各代表什么意思，小朋友讲得比较清楚；然后我又请豆豆想一想，两次分杯子的时候，同学的数量有没有发生变化？
豆豆很快回答没有变化，不过他并没有进一步动作。这个时候我知道，小朋友的第一个问题在于对符号应用还不那么清楚。于是，我给了豆豆明确的提示，表示同一个事物，比如这里都表示同学，而且同学在这个过程里没有发生变化，那么用相同的符号表示就可以。
这样，刚才的算式就可以修改为：
接下来的解答可以用类似解方程的方法，不过暂时我还不想和豆豆介绍这些，所以鼓励豆豆用穷举列表的方法找到答案。
我更想和豆豆讨论的，是为什么他从“余数要比除数小”这个角度出发不正确。
在我看来，小朋友困在“余数要比除数小”这一点上，主要是没有搞清带余数除法的计算题和带余数除法应用题之间的区别。单纯的数字计算和具体情景中数字+单位的量的计算，既有相同之处，又有区别的地方。单纯的数字计算比较纯粹，直接计算结果就可以；而在具体的应用场景里就需要考虑实际情况，比如带余数除法的应用题里，为什么分东西一定要分到最彻底、分到不能再分为止呢？这次只分一部分，剩下的收起来不行吗？换句话来讲，在具体的应用情景里，余数为什么一定要比除数小呢？
所以，这里最本质的问题，还是要和小朋友区分单纯的数字计算和具体情景中量与应用的差别。“余数要比除数小”在单纯的数字计算里适用，但在应用题里不适用。
2
从“变与不变”的分析入手
积累一种新思路
其实，这道题目还有更巧妙的一种方法。不从带余数除法的角度入手，而从分析题目中的“变与不变”入手。
我们可以带孩子一起厘清，小明两种分杯子的方法里，哪些发生了变化，哪些没有变化，发生改变的部分（因）又引起了哪些其他量的改变（果）。
具体到题目里，两种方法分杯子的时候，杯子的总数是不变的，同学的数量也是不变的，小明因为每次分的数量不同，造成剩余杯子的数量也不同。再进一步，第二种方法给每个同学多分了8-6=2（个），所以剩余的杯子少了20-2=18（个）。
这样问题就可以转化成，如果每个同学多分2个杯子，就会多需要18个杯子，那么同学的数量就是
18÷2=9（个）
剩下的问题迎刃而解。
3
一些启发和思考
和豆豆一起讨论这道题的时候，我是有些眼前一亮的。因为这是我们第一次遇到不从求总数、求部分、求相差、或是平均分这样比较直接的关系入手，在第二种更巧妙的方法里，它是从分析“变与不变”，以及其中的因果关系入手。对二年级小朋友来讲，这个解决问题的思路是值得积累的。
小学阶段一些比较难的应用题，在没有学习方程以前，这种对比分析的思考方法，分析两件事物的“同与不同”，或者一件事物前后两次情景中的“变与不变”，以及其中的因果关系，就是解决问题的关键了。
另外，对小小孩的爸爸妈妈也可以很有启发，就是我在讲座里和大家分享的。
对于小朋友还在幼儿园的爸爸妈妈来讲，要让孩子上学后更顺利地应用这种对比分析的思考方法，小时候可以陪他们玩一些“同与不同”的游戏，比如去对比两幅图里相同和不同的地方。
在幼儿阶段，“同与不同”主要是用图画的形式，是直观和具象的；到小学阶段，就是把图画变成文字，把图画里的每一个部分，变成文字题中一个个对象，呈现的方式变得抽象。
但本质上，它们是一样的。
豆豆妈咪：毕业于复旦大学统计学系、财务金融系。
喜欢琢磨数学，琢磨怎么把数学讲明白、讲有趣，
也喜欢和娃一起看书、逛博物馆、到处走走看看。
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